\subsection{圆周长、弧长}\label{subsec:czjh2-7-19}

\begin{enhancedline}

\subsubsection{圆周长}

我们知道，圆周长 $C$ 与半径 $R$ 之间有下面的关系

\begin{center}
    \framebox[8em]{\zhongdian{$\bm{C = 2 \pi R$}。}}
\end{center}

这里 $\pi = 3.14159\cdots$， 这个无限不循环小数叫做\zhongdian{圆周率}（详见\hyperref[sec:czjh2-7-fulu]{附录}）。

\subsubsection{弧长}

\begin{wrapfigure}[8]{r}{7.5cm}
    \centering
    \input{../pic/czjh2-ch7-75}
    \caption{}\label{fig:czjh2-7-75}
\end{wrapfigure}

因为 $360^\circ$ 的圆心角所对的弧长就是圆周长 $C = 2 \pi R$，
所以 $1^\circ$ 的圆心角所对的弧长是 $\dfrac{2 \pi R}{360}$，即 $\dfrac{\pi R}{180}$。
这样，我们就得到，半径为 $R$ 的圆中， $n^\circ$ 的圆心角所对的弧长 $l$ 的计算公式：
$$ \bm{l = \dfrac{n \pi R}{180}} \juhao $$

\liti 弯制管道时，先按中心线计算“展直长度”，再下料。
试计算图 \ref{fig:czjh2-7-75} 所示管道的展直长度 $L$ （单位：mm）。

\jie 由弧长公式,得

$l = \dfrac{100 \times 90 \times \pi}{180} = 50 \pi \approx 157$ (mm) 。

所要求的展直长度

$L = 2 \times 70 + 157 = 297$ (mm)。

答：管道的展直长度为 297 mm。



\liti 如图 \ref{fig:czjh2-7-76}， 两个皮带轮的中心距离为 2.1 m， 直径分别为 0.65 m 和 0.24 m。
（1） 求皮带长； （2）如果小轮每分转 750 转，求大轮每分转多少转。

\jie （1） 作过切点的半径 $O_1A$、$O_1D$、$O_2B$、$O_2C$， 作 $O_2E \perp O_1A$，垂足为 $E$。

$\because$ \quad $O_1A = \exdfrac{1}{2} \times 0.65 = 0.325$，
    $AE = O_2B = \exdfrac{1}{2} \times 0.24 = 0.12$， $O_1O_2 = 2.1$，

$\therefore$ \quad $O_1E = O_1A - AE = 0.325 - 0.12 = 0.205$。

$\therefore$ \quad $AB = O_2E = \sqrt{O_1O_2^2 - O_1E^2} \approx 2.090$ (m)。

$\because$ \quad $\cos\alpha = \dfrac{O_1E}{O_1O_2} \approx 0.0976$， $\angle\alpha \approx 84.4^\circ$，

$\therefore$ \quad $\angle\alpha_1 = 360^\circ - 2 \angle\alpha = 191.2^\circ$。

$\therefore$ \quad $\yuanhu{AmD}$  的长 $l_1 = \dfrac{191.2 \times \pi \times 0.325}{180} \approx 1.085$ (m)。

$\because$ \quad $\angle \alpha_2 = 360^\circ - \angle \alpha_1 = 168.8^\circ$，

$\therefore$ \quad $\yuanhu{BnC}$ 的长 $l_2 = \dfrac{168.8 \times \pi \times 0.12}{180} \approx 0.354$ (m)。

$\therefore$ \quad 皮带长 $l = l_1 + l_2 + 2 AB = 5.62$ (m)。

（2） 大轮每分的转数为

\qquad $n = \dfrac{0.12 \times 750}{0.325} \approx 277$ (转)。

答：皮带长 5.62 m， 大轮每分转 277 转。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{10.5cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-76}
        \caption{}\label{fig:czjh2-7-76}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[b]{5cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-subsec19-lx-02}
        \caption*{（第 2 题）}
    \end{minipage}
\end{figure}


\begin{lianxi}

\xiaoti{求半径为 46.0 厘米的 $18^\circ 30'$ 的弧长 $l$ （保留 3 个有效数字）。}

\xiaoti{如图，大圆 $O_1$ 的半径 $O_1A$ 是小圆 $O_2$ 的直径，
    $\yuan\,O_1$ 的半径 $O_1C$ 交 $\yuan\,O_2$ 于点 $B$。
    求证： $\yuanhu{AB}$ 和 $\yuanhu{AC}$ 的长相等。
}

\end{lianxi}

\end{enhancedline}

